关于分式极限的运算规律的证明及其规律引申应用 教育论文

饶绍斌

【摘要】本文运用■→0(a为任意实数)的这一性质和极限的四则运算法则以及无穷大与无穷小的关系定理,证明了分式极限■■的运算规律,以及在该规律基础上引申了规律1和在带有根式下的类似于分式极限运算的规律2。

【关键词】分式 极限 倒数 无穷大 无穷小

【中图分类号】O211.4【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2018)14-0126-01

高等教育出版社《微积分基础教程》一书第二章中,有关于无穷小与无穷大的关系定理,以及关于分式极限的运算有这样一个规律,内容总结如下:

定理1(关系定理)在自变量的同一变化过程中,若f(x)为无穷大,则■为无穷小;若f(x)为无穷小,则■为无穷大。

规律1(分式极限的运算规律)若a0≠0,b0≠0,且m,n为非负正数时有

■■=■,m=n0,m>n∞,m< p="">

证明:情形一:当m=n时:原极限=.■■

分子分母同时除以xn得:

■■=■■

运用■→0(a为任意实数)的这一性质和极限的四则运算法则可得:当x→∞时,■→0,…,■→0,■→0,…,■→0,所以■■=■。

情形二:当m>n时:原极限分子分母同时除以xm得:■■=■■,因为m>n,所以运用■→0(a为任意实数)的这一性质和极限的四则运算法则可得:当x→∞时,■→0,■→0,…,■→0,■→0,…,■→0故可得:

■■=0

情形三:当m< p="">

■■,因為m< p="">

规律1(次数比较规律)对于规律1,可以简单的描述成比较分子分母的最高次数,若分母的最高次和分子的最高次数相等时,原极限等于分子分母的最高次项的系数和之比(■);若分母的最高次数大于分子的最高次数时,原极限等于零(0);若分母的最高次数小于分子的最高次数时,原极限为无穷(∞)。

规律2(分式极限的运算引申规律)若在规律1中极限的基础上分别对分子和分母任意添加根号,然后观察它分子和分母的最高次数,它仍然是满足规律1。

例1:求■■.

解:由规律1知,该分式的分子和分母的最高次都为4次,所以■■=■.

例2:求■■.

解:由规律2可知,该式子的分子和分母的最高次数为1,注意这里的分母■转化为次数来看的话,最高次是一次对应的系数就应该是■,分子■-x转化成比次数来看的话,最高次也是一次,而且有两项对应的系数分别是■和-1,所以■■=■=■.

例3:求■■.

解:由规律2可知,该式子的分子的最高次数为■次,分母的最高次数为2,所以分母的次数大于分子的次数,该极限为0,即■■=0.

参考文献:

[1]陆永怀.极限运算在有理函数积分中的应用[J].吉首大学学报(自科版).1992(2):56-60

[2]侯丽.无穷大与无穷小的比较在极限运算中的应用[J].现代商贸工业.2012(15):139-139

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