导读::设是正整数的除数函数。则称是一个优美指数.对此。曾提出如下猜想:。
论文关键词:除数函数,初等方法,优美指数,猜想

  1.引言及主要结论
  设是正整数的除数函数,对于给定的正整数,若存在正整数可使
  
  则称是一个优美指数.对此,曾提出如下猜想:
  猜想 任何正整数都是优美指数.
  文[2]找到了一个反例,从而否定了上述猜想.本文证明了
  定理1 任何素数都是优美指数.
  定理2若为非负整数)或为非负整数)或为非负整数,为奇素数)或为大于的正
  整数,为适合的奇素数)或为正整数,为不同的奇素数)或为大于的素数)或为非负整数,为大于的素数)或为非负整数,为奇素数),则都是优美指数.
  2.关键性引理
  引理 对于正整数,设的除数函数,则当的标准分解式时,.
  证明 可参见文献[3].
  3.定理的证明
   先证定理.根据引理
  令,则;  令,则
  令为奇素数),则.
  综上,定理得证.
  再证定理.根据引理
  令为非负整数),则
  
  令为非负整数),则
  
  令为非负整数,为奇素数),则
  
  令为大于的正整数,为适合的奇素数),则
  
  令为正整数,为不同的奇素数),则
  
  令为大于的素数),则
  
  令为非负整数,为大于的素数),则
  
  令为非负整数,为奇素数),则
  .
  综上,定理得证.
   由定理很容易算出在1—100的范围内,当1,2,3,4,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,18,19,20,21,23,24,26,27,29,30,31,32,35,36,37,38,39,40,41,42初等方法,43,45,47,48,49,50,51,52,54,55,57,59,62,64,65,66,67,69,71,72,74,77,79,81,82,83,84,85,87,88,89,90,91,92,95,96,98,99时,都是优美指数.于是我们猜测:若6,10,14,22,25,28,33,34,44,46,53,56,58,60,61,63,68,70,73,75,76,78,80,86,93,94,97,100,则都不是优美指数,从而进一步猜测:存在无穷多个正整数不是优美指数.

参考文献
[1]Murthy A..Some more conjectures on primes and divisors[J].Smarandache
NotionsJ,2001(12):311-312.

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