一、分类讨论思想需遵守的原则

1.一致性原则

分类应该按同一标准进行,也就是每次分类不能使用几个不同的分类根据。例如:把三角形分为等边三角形和不等边三角形是按边分类的。但是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,这种分类就不正确,此种分类既是按边分类也按角分类。

2.相斥性原则

分类后的每一个子项应具备互不相容的原则,也就是不能出现有一项既属于这一类又属于那一类。例如学校举行运动会,规定每个学生只能参加一项比赛,初一三班的6名同学报名参加200和400米的赛跑,其中有4人参加200米比赛,3人参加400米比赛,那么就有1人既参加200米又参加400米比赛,这道题目的分类就违背了相斥性原则。

3.完善性原则

分类应当完善,即划分后子项的总和应当与母项相等。如:有人把实数分为正实数和负实数两类,这个分类是不完善的,因为子项的总和小于母项。事实上实数中还包括零。

4.递进性原则

分类后的子项还可以继续再进一步分类,直到不能再分为止,层次分明。例如实数可以分为无理数和有理数,有理数还可以分为整数和分数,整数又可以分为正整数,零和负整数。我们在运用分类讨论的思想解决问题时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素,进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏,另外还要逐一认真解答。

二、分类思想在初中数学教学中的应用

1.概念分类

例如在学习完负数、有理数的概念后,针对于不同的标准,有理数有多种的分类方法,若按定义来分类有理数可以分为分数和整数,分数又可以分为正分数和负分数,整数又可以分为正整数、负整数和零;若按正负来分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零,正有理数又分为正整数、正分数,负有理数又分为负整数、负分数。

2.在解题方法上分类讨论

例如:解方程∣x+3∣+∣4-x∣=7解析:对于绝对值问题,往往要对绝对值符号内的内容分为正数、负数、零三种,在此方程中出现两个数的绝对值;∣x+3∣和∣4-x∣,∣x+3∣应分为x=-3,x<-3,x>-3;∣4-x∣应分为x=4,x<4,x>4,在数轴上可见该题应划分为三种情形:①x<-3,②-3≤x≤4,③x>4。解:①若x<-3,化简-(x+3)+4-x=7得x=-3,与x<-3矛盾,所以x<-3时方程无解。②若-3≤x≤4,原方程x+3+4-x=7恒成立,满足-3≤x≤4的一切实数x都是方程的解。③若x>4,化为x+3-(4-x)=7,得x=4,与x>4矛盾,所以x>4时无解。综上所述,原方程的解为满足-3≤x≤4。3.在几何中图形位置关系不确定的分类:例如:已知a的绝对值是b绝对值的3倍,且在数轴上a、b位于原点的同侧,两点之间的距离为16,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点两侧呢?分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的同侧”意味着甲乙两数符号相同。那么究竟是正数还是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解:由题意得:∣a∣=3∣b∣,∣a-b∣=16

(1)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若a、b在原点左侧,即a<0,b<0,则-2b=16,所以b=-8,a=-24若a、b在原点右侧,即a>0,b>0,则2b=16,所以b=8,a=24。

(2)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若a在原点左侧,b在原点右侧,即a<0,b>0,则4b=16,所以b=4,a=-12若a在原点右侧,b在原点左侧,即a>0,b<0,则-4b=16,所以b=-4,a=12。以上几个例子是我们在教学中碰到的一些运用分类讨论思想解决的较为简单的例子,但不难看出分类讨论思想在中学数学教学中起着非常重要的作用,运用好分类讨论思想,不仅仅有利于学生对所学知识的归纳总结,还有利于我们解决平常的学习难题,更为我们解决日常生活中实际问题提供了的帮助。同时,在分类讨论中还能够激发学生的学习兴趣,提高学生自主探究、合作学习的能力,培养学生创新思维的习惯。

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