关于一个几何命题证明的思考_解析几何

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论文导读::数学学习的重要目的在于培养学生的数学思维能力,养成良好的数学思维品质.从不同的角度分析问题、解决问题是培养数学思维品质的一个好方法,对培养思维的灵活性,广阔性有重要意义.本文从三个角度出发,给出了一个几何命题的证明方法.
论文关键词:几何证明,数学解题,解析几何,射影观点
 

0引言

数学是研究空间形式和数量关系的学科,在初等几何课程里,这两方面的内容特别明显.决初等几何命题,常常利用一些常用的几何定理证明。另外也可以有两种有效的解决途径:建立直角坐标系利用解析几何的知识来解决,或者从射影的角度出发利用高等几何的有关知识解决.这三种不同的思考途径相互联系,相互服务,开阔了我们的思路,使解题方法更灵活.下面以一个几何题目为例子,分别就这三种方式给出阐述.

1相关定义与定理

定义1.1.1 一线束中四直线被任一直线(不通过线束中心或顶点)所截四点的交比解析几何,称为四直线的交比.记为.

定义1.1.2 点列和线束成射影对应,而对应线通过对应点的,这种特殊的射影对应称为透视对应,记为.

定义1.1.3 若,我们说C,D两点调和分割线段AB.

2解几何题常用的几种思考方法

数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力,养成良好的数学思维品质.传统提倡的“一题多解”是培养数学思维品质的一个好方法,尤其对培养思维的灵活性,广阔性是值得注意的.

引例:设为锐角三角形的三高线.证明:这些高线平分三角形 DEF的三个内角

2.1利用常用的一些欧式几何定理来解决问题.

数学是研究空间形式和数量关系的学科,在初等几何课程里,这两方面的内容特别明显.初等几何命题所涉及的内容是多方面的.利用欧式几何相关定理来解决初等几何命题,要求我们必须对教材相关内容融会贯通,具备对几何问题的观察、分析、综合、推究的能力,对常见的欧式几何定理、公理等有一个熟练的驾驭性.同时,对一个问题的解决来说,通用方法的掌握,熟练技巧的养成,克服困难的刚毅精神等都非常重要,这样我们在处理有关题目时才能游刃有余.

解析:对本例来讲,题目条件出现了较多的直角,我们可以考虑有关圆的一些结论,可得B、C、E、F四点共圆解析几何,所以∠FBE=∠FCE;B、D、O、F四点共圆,所以∠FBE=∠FDO;C、D、O、E四点共圆,所以∠ODE=∠FCE.由以上三等式可得:∠FDO=∠EDO,即AD平分∠FDE.同理可证其余两高线也为相应内角的平分线.命题得证.

2.2利用解析几何的有关知识解决问题

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,为了把代数运算引导几何中来,最根本的做法就是把几何结构有系统的代数化、数量化,我们是建立坐标系来解决这个问题的: 建立坐标系解析几何,用方程来表示图形的一些元素,通过研究方程来研究图形.对于一些几何命题,利用解析几何的方法,构建坐标系来证明给我们提供了全新的视角,形成一种新的思维方式.

解析:以分别为y轴和x轴建立直角坐标系,D为坐标系原点.设三角形的顶点和垂心坐标为,用截距式写出的方程:.联立解得交点E的坐标,所以直线DE的斜率为.仿此,写出直线DF的斜率.可见直线DE与DF对称于x轴和y轴.所以AD为∠FDE的角平分线. 同理可证其余两高线也为相应内角的平分线.命题得证.

2.3从射影的观点出发思考问题

有关研究图形在射影变换下不变的性质的几何叫射影几何,它所处理的是构成几何图形的最根本的定性方面和描述方面的性质,而且不用线段与角的度量.在经典几何中,射影几何处于一种特殊的地位,通过它可以把一些几何联系起来.欧式几何是射影几何的子几何.角平分线的问题,是中学几何常见的问题.三角形中一个角的内角和外角平分线,将对边分成两线段的比值,都和邻边成比例,与射影几何中的调和分割密切联系.

解析: :延长DE交BA于点P,DE交CF于点Q.由得: .由交比的性质,所,,1舍去.所以,即点O和点C调和分割线段FQ,由角平分线的性质,所以.同理可证其余两高线也为相应内角的平分线.命题得证.

3结论

利用欧式几何的有关结论证明问题,需要我们掌握基本的知识和解题方法,这对于锻炼我们发现问题解决问题,从而提高我们的能力有很大帮助;利用解析几何的观点解决问题解析几何,重要性在于它的方法,由于解析几何方法解决各类问题的普遍性,它已成为几何研究中的一个基本方法.射影观点对欧式几何有重大的指导意义,从一些图形彼此之间的变换关系入手,能巧妙地解决有关中学几何问题,并且使证明过程简化.数学学习的重要目的在于培养学生的数学思维能力,养成良好的数学思维品质.我们提倡“一题多解”,从不同的角度分析问题、解决问题是培养数学思维品质的一个好方法,尤其对培养思维的灵活性,广阔性是值得注意的. 只要我们善于分析归纳,将各种知识融会贯通,定能开阔解题思路.


参考文献
[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M]. 上海:上海科学技术出版社,2007.
[2]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社.2001.
[3]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社,2009.
[4].朱德祥.初等几何探究.[M]. 北京:高等教育出版社2003.
 

 

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